Testy statystyczne wykorzystują numeryczne zbiory danych, które mogą mieć dwa typy reprezentacji:

Dla standardowej reprezentacji oddzielne zestawy danych są przechowywane w tabeli danych w poszczególnych kolumnach. Dla reprezentacji za pomocą słowa kluczowego(key-type) dwa zestawy danych są przechowywane w jednej kolumnie (połączone), podczas gdy dodatkowa kolumna-klucz jednoznacznie wskazuje z którego zestawu pochodzi dana obserwacja. Kolumna-klucz zawiera zmienną z tylko dwoma możliwymi wartościami (zarówno kategorycznymi jak i numerycznymi).

Brakujące wartości (Null) w zbiorach danych są obsługiwane i brakujące obserwacje są pominięte.

Wszystkie testy statystyczne są dostępne z poziomu skryptu. W celu zastosowania określonego testu statystycznego do przykładowych danych skrypt powinien zostać utworzony.

Następujące polecenia są używane do implementacji testów:

runStatTest(test, table)  lub
runStatTest(test, table, col1)  lub
runStatTest(test, table, col1, col2)
                

Ogólną postać polecenia jest

runStatTest(test, alias.table, col1, col2)
                

gdzie

Jeśli nie ma podanej żadnej nazwy kolumn, procedura testowania bierze pierwsze kolumny dla wskazanej tabeli i próbuje wykonać procedurę testowania.

Obiekt test jest tworzony w dwóch krokach:

1) tworząc dla odpowiednich testów settings

2) tworząc zaznaczony obiekt test używając poleceń:

settings = TestNameSettings()
test = TestName(settings)
                

gdzie settings i test są nazwami odpowiednich testów.

Lista wszystkich elementów/opcji settings dla każdego testu statystycznego może być znaleziona w sekcji Settings dla odpowiednich testów. TestName /TestNameSettings mogą być ustawione jako dowolny z następujących:

Wyniki testu są przechowywane jako obiekt o wybranej nazwie:

res = runStatTest(test, alias.table, col1, col2)
                

Tutaj res jest nazwą wynikowego obiektu testu zaimplementowanego testu dla ustawień (test, alias.table, col1, col2). Wynik testu składa się z czterech elementów: wartość statystyki testowej, wartość krytyczna(nych) dla danego poziomu istotności, wartości p-value obliczonej wartość statystyki testowej i rezultatu testowania hipotezy (hipoteza zerowa jest przyjmowana lub odrzucana), które mogą być wyświetlane w oknie widokowym używając następujących poleceń:

                    res.printResults()
                

do wyświetlania wszystkich rezultatów lub:

                    res.getHypothesis()
                    res.getStatistic()
                    res.getCriticalValue()
                    res.getPValue()
                

aby wyodrębnić poszczególne elementy osobno.

Komenda getHypothesis() wyświetla wynik testowania hipotezy jako 0/1, co odpowiada hipotezie zerowej/alternatywnej.

Poniżej znajduje się lista wszystkich poleceń do zdefiniowania poszczególnych elementów wybranego obiektu settings (domyślne wartości parametrów można znaleźć w tabeli ustawień dla każdego testu):

Dopuszczalne wartości dla każdego elementu ustawień można znaleźć w opisie każdego z testów w sekcji Settings. Do oglądania ustawionych wartości następujące polecenia mogą być stosowane:

table 'statTest':
    a b

    1 2
    5 6
    1 7
    2 4
    5 8


settingsMW = MannWhitneyTestSettings()
settingsMW.setAlpha(0.1)
testMW = MannWhitneyTest(settingsMW)
resMW = runStatTest(testMW, 'statTest', 'a', 'b')
resMW.printResults()

        StatTestResult: 

        1) Critical value:         1.6448536269514715        
        2) Statistic:        -1.6711454971746993
        3) p-value:        0.09469293918766253
        4) Hypothesis:        null hypotesis is rejected

Test Andersona-Darlinga jest zdefiniowany jako:

Hipotezy:

Statystyka testowa: Statystyka testu Andersona-Darlinga jest zdefiniowana jako

i jest obliczana jako , gdzie

Tutaj są posortowanymi danymi i jest rozmiarem próby, jest dystrybuantą z określonego rozkładu, jest dystrybuantą empiryczną, która przybliża rozkład funkcji .

Dla każdego wartość jest udziałem obserwacji mniejszych lub równych , podczas gdy jest prawdopodobieństwem, że obserwacja jest mniejsza lub równa .

Poziom ufności:

Obszar krytyczny:

Rozkład normalny i log-normalny wymagają następujących modyfikacji dla małych próbek:

Następnie statystyka testowa musi być porównana do odpowiedniej wartości krytycznej.

Dla rozkładu Weibulla and Gumbela statystyka testowa dla małych próbek oblicza się w następujący sposób:

Jeśli chodzi o rozkładzie wykładniczy to jest szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla z parametrem skali równym średniej parametru rozkładu wykładniczego i parametrem kształtu równym 1.

Prawdopodobieństwo większej statystyki testowej otrzymano przez interpolację liniową w zakresie symulowanych wartości krytycznych (patrz D'Agostino and Stephens 1986).

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienną losową o rozkładzie Andesona-Darlinga jest większa lub równa od zaobserwowanej wartość statystyki AD zgodnie z hipotezą zerową.

Wymagania dotyczące danych:

Test Andersona-Darlinga jest oparty na jednej próbce z danymi numerycznymi, które mogą być przechowywyane w jednej kolumnie (standardowa reprezentacja) lub w dwóch kolumnach (reprezentacja ze słowem kluczowym).

Test ten może być zarówno dwustronny jak i jednostronny. Dla testu dwustronnego hipoteza alternatywna dla hipotezy zerowej jest że wariancja nie jest równa ustalonej wartości. Wersja testu jednostronnego testuje tylko jeden kierunek: rzeczywista wartość wariancji jest mniejsza niż testowana wartość (test lewostronny) lub rzeczywista wartość wariancji jest większa niż testowana wartość (test prawostronny). Wybór rodzaju testu zależy od rozważanego problemu.

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Statystyka testowa ma postać

gdzie jest rozmiarem próby jest wariancją próby. Można zauważyć, że wzór na statystykę porównuje stosunek wariancji próbki do wariancji docelowej. Im bardziej stosunek ten różni się od 1, tym częściej mamy sytuację odrzucenia hipotezy zerowej.

W ramach hipotezy zerowej statystyka testowa ma rozkład chi-kwadrat z stopniami swobody.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana jeśli:

Test dwustronny :

Test lewostronny :

Test prawostronny :

Tutaj i są odpowiednio dolnym i górnym kwantylem z rozkładu chi-kwadrat z stopniami swobody.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że losowa zmienna z rozkładu chi-kwadrat z stopniami swobody będzie większa lub równa z obliczaną wartością statystyki testowej w ramach hipotezy zerowej.

Wymagania dotyczące danych:

Chi-square test może być wykonany na próbce danych numerycznych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Istnieją dwie wersje tego testu: dwustronny i jednostronny. Dwustronny test jest stosowany w celu sprawdzenia, czy są odchylenia standardowe równe. W przypadku testów jednostronnych mamy: lewostronne - sprawdza czy odchylenie standardowe dla populacji pierwszej jest mniejsza od drugiej populacji i prawostronne - sprawdza, czy odchylenie standardowe dla populacji pierwszej jest większe od odchylenia z drugiej populacji. Wybór zależy od problemu.

F-test sprawdza stosunek wariancji dwóch próbek. Im bardziej jest on różny od 1, tym bardziej prawdopodobne odrzucenie hipotezy zerowej.

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Statystyka testowa dla testu F-test ma następującą postać:

gdzie jest wariancją pierwszej próby i jest wariancją drugiej próby.

Jak widać z tego wzoru F-test sprawdza stosunek wariancji z dwóch próbek. Im bardziej stosunek ten różni się od 1, tym bardziej prawdopodobne odrzucenie hipotezy zerowej.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana jeśli:

Test dwustronny :

Test lewostronny :

Test prawostronny:

gdzie są kwantylami rozkładu F z stopniami swobody, jest rozmiarem pierwszej próby jest rozmiarem drugiej próby.

P-Value:

Dla hipotezy zerowej wartości p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładem F (Fisher-Snedecor) z stopniami swobody będzie większa lub równa od policzonej wartości statystyki testowej.

Wymagania dotyczące danych:

F-test może być wykonany na dwóch próbkach danych numerycznych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Test Kołmogorowa-Smirnowa (KS) jest oparty na dystrybuancie empirycznej (empirical distribution function - EDF).

Hipotezy: Test dla jednej próby danych

Następujące rozkłady są zaimplementowane: Normalny, Wykładniczy, Logistyczny, Beta-rozkład, Gamma-rozkład.

Statystyka testowa:

Statystyka testowa testu KS jest zdefiniowana jako:

Dla testu dla jednej próby:

gdzie jest teoretyczną dystrybuantą badanego rozkładu, który musi być ciągły (tj. nie może być dyskretnym rozkładem jak dwumianowy i Poissona) i w pełni określony (tzn. wszystkie parametry rozkładu powinny zostać określone, jak w procedurze testowej parametry rozkładu nie mogą być określone na podstawie danych), oraz jest EDF dla próby.

Notatka

Ze względu na właściwości EDF jedna statystyka testowa dla próbki jest obliczana zgodnie z następującym wzorem:

gdzie jest rozmiarem próby, są posortowanymi unikalnymi wartościami, i jest założone, że .

Asymptotyczną wartość statystyki otrzymuje się ze wzoru

Dla testu dla dwóch prób:

gdzie są wyciągniętymi posortowanymi obserwacjami z dwóch prób, jest całkowitym rozmiarem próby, jest rozmiarem pierwszej próby, jest rozmiarem drugiej próby i i są EDF odpowiednio dla pierwszej i drugiej próby.

Asymptotyczną wartość statystyki otrzymuje się z równania

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana, jeśli obliczona wartość statystyki KS dla próby jest większa niż wartości krytyczne rozkładu Kołmogorowa-Smirnowa. Rozkład ten zależy od wielkości próby i poziomu istotności.

P-Value:

Wartość P-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładem Kołmogorowa-Smirnowa jest większa lub równa obserwowanej wielkości statystyki testowej KS w ramach hipotezy zerowej. Wartość p-value jest zaimplementowana tylko dla Asymptotycznego Rozkładu Kołmogorowa-Smirnowa. CDF dla tego rozkładu jest dane za pomocą:

Wymagania dotyczące danych:

Test Kołmogorowa-Smirnowa może być wykonany dla jednej lub dwóch prób danych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Kuiper test jest oparty na dystrybuancie empirycznej (empirical distribution function EDF).

Hipotezy: Test dla jednej próby:

Test dla dwóch prób:

Następujące rozkłady są zaimplementowane: Normalny, Wykładniczy, Logistyczny, Beta-rozkład, Gamma-rozkład.

Statystyka testowa:

Statystyka testowa testu Kuipera dla jednej próby jest obliczana za pomocą formuły:

gdzie są posortowanymi unikalnymi obserwacjami, jest rozmiarem próby, jest teoretyczną dystrybuantą jest EDF dla próby.

Asymptotyczną wartość statystyki otrzymuje się ze wzoru

Statystyka testowa testu Kuipera dla dwóch prób jest obliczana za pomocą formuły:

gdzie jest rozmiarem pierwszej próby, jest rozmiarem drugiej próby, , i i są EDF odpowiednio dla pierwszej i drugiej próby.

Asymptotyczną wartość statystyki otrzymuje się ze wzoru

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana jeśli wartość statystyki testowej dla testu Kuipera obliczana dla próbki jest większa od odpowiedniej wartości krytycznej rozkładu określonego w Kuiper test. Rozkład ten zależy od wielkości próby i poziomu istotności.

P-value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładu Kuipera będzie większa lub równa z obliczaną wartością statystyki testowej w ramach hipotezy zerowej. P-value jest zaimplementowane jedynie dla asymptotycznego rozkładu Kuipera. CDF dla rozkładu jest dane za pomocą formuły

.

Wymagania dotyczące danych:

Test Kuipera F-test może być wykonany na jednej lub dwóch próbkach danych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Są trzy warianty testu Levene'a: oparty na średniej, oparty na medianie i oparty na 10%obciętej średniej. W każdym z przypadków testowane jest odchylenie bezwzględne od używanych wartości.

Pierwotnie zaproponowany test używał wartości średniej z próbki. Brown i Forsythe, 1974 wykonali symulacje Monte Carlo i pokazali, że: użycie średniej-obciętej daje najlepsze rezultaty jeśli dane pochodzą z rozkładu Cauchy'ego, użycie mediany daje najlepsze rezultaty jeśli dane pochodzą z rozkładu chi-kwadrat. Użycie średniej zaś daje najlepsze rezultaty dla symetrycznych rozkładów bez dużych ogonów. Chociaż optymalny wybór jest uzależniony od rodzaju podstawowego rozkładu, to zaleca się wybór, który zapewnia dobra odporność na wiele rodzajów danych nie-standardowych. Znajomość podstawowych rozkładów danych może zasugerować użycie jednego z pozostałych wariantów.

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Statystyka testowa dla testu Levene'a jest obliczana następująco:

z obliczanymi następująco:

1. Dla testu opartego na średniej :

gdzie oznacza wartość średniej w próbce i.

2. Dla testu opartego na medianie :

gdzie oznacza wartość mediany w próbce i.

3. Dla testu opartego na 10%-obciętej średniej :

gdzie oznacza wartość średniej po 10%obcięciu obserwacji odstających w próbce i.

W powyższym w próbie (ponad j) średnią wartość i oznacza ogólną średnią z .

Te trzy możliwości obliczania określają najbardziej czuły i silny test Levene'a.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana jeśli wartość statystyki testowej jest większa od odpowiedniej wartości krytycznej rozkładu:

gdzie górną wartością krytyczną rozkładu F z stopniami swobody.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładu F z stopniami swobody będzie większa lub równa od obserwowanej wartości statystyki testowej dla testu Levene'a określonego w hipotezie zerowej.

Wymagania dotyczące danych:

Test Levene'a może być wykonany dla dwóch próbek danych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Test t-Studenta jest standardową metodą dla testowania, czy średnia w dwóch próbach jest równa. Jeśli próby nie pochodzą z populacji o rozkładzie normalnym, szczególnie dla małych prób, wynik testu t-Studenta może być niewłaściwy. Test Manna-Whitneya jest alternatywnym rozwiązaniem, które może być stosowane gdy założenia o rozkładzie nie są do końca spełnione/podejrzane. Jednak test Manna-Whitneya ma słabszą moc interpretacyjną uzyskanych danych niż test t-Studenta. Aby wykonać test Manna-Whitneya pierwszym krokiem jest rangowanie próbek, następnie suma rang dla próbki pierwszej i drugiej są szeregowane i trzy rangi są wykorzystywane do liczenia statystyki testowej. Więcej szczegółów można znaleźć w na przykład Lehmann 1975.

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Aby wykonać test Manna-Whitneya pierwszym krokiem jest uszeregowanie połączonych próbek, następnie policzenie sumy rang dla pierwszej próbki ( ). Liczone są następujące statystyki:

gdzie i są rozmiarami prób.

Test dwustronny :

Jeśli rozmiary próbek są równe, statystyka testowa Manna-Whitneya jest równa minimum z dwóch wartości:

Test lewostronny :

Test prawostronny :

Dla dostatecznie dużych próbek (rozmiar próbki większy niż 20), następujące przybliżenie rozkładem normalnym jest używane:

gdzie

W przypadku małych rozmiarów próbek konieczne jest stosowanie specjalnych tabel z wartościami krytycznymi.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucana jeśli:

Test dwustronny : obliczana wartość statystyki testowej jest większa niż wartość krytyczna

Testy jednostronne : obliczana wartość statystyki testowej jest większa niż wartość krytyczna , gdzie jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa ze standardowego rozkładu normalnego będzie większa lub równa od obserwowanej wartości statystyki testowej testu dla Manna-Whitneya określonego w hipotezie zerowej.

Data Requirements:

Test Manna-Whitneya może być wykonany na dwóch próbkach danych numerycznych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

# Przykład użycia testu Manna-Whitneya


table 'MannWhitney':
    mw1 mw2

    43   99
    97   98
    102  94
    101  86
    12   56
    97   103
    103  99
    104  89
    109  102
    59   104
    90   103
    98   96
    86   67
    92   90
    95   105
    101  79
    89   87

settings = MannWhitneyTestSettings()
test = MannWhitneyTest(settings)

res = runStatTest(test, 'MannWhitney', 'mw1', 'mw2')
res.printResults()

        StatTestResult: 

        1) Critical value:         1.9599639845400536        
        2) Statistic:        -0.08610882996604705
        3) p-value:        0.9313798362985003
        4) Hypothesis:        null hypotesis is accepted

Powyższy przykład wykonuje test Manna-Whitneya dla danych pochodzących z próbek 'mw1' i 'mw2' i sprawdza, czy te próbki pochodzą z populacji o równych średnich i na domyślnym poziomie istotności 0.05 założenie to jest potwierdzone.

Wynik korelacji liniowej Pearsona jest przykładem współczynnika korelacji. Jest to miara liniowego powiązania pomiędzy dwoma zmiennymi, które zostały zmierzone w przedziałach lub skali. Należy jednak pamiętać, że może to być wartość zaniżona gdy istnieje zależność między zmiennymi, ale nie jest ona liniowa.

Dla dwóch zmiennych i współczynnik korelacji Pearsona jest liczony jako:

Dla dwóch próbek sparowanych współczynnik korelacji Pearsona jest obliczany jako:

gdzie

i jest rozmiarem próby.

Współczynnik korelacji Pearsona dla próby ma następujące właściwości:

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Test Pearsona dla współczynnika korelacji jest oparty na statystyce:

gdzie jest współczynnikiem Pearsona dla próby i jest rozmiarem próby, która ma rozkład t-Studenta z stopniami swobody.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucona jeśli:

Test dwustronny : obliczona wartość bezwzględna statystyki testowej jest większa niż odpowiadająca jej wartość krytyczna:

i

Test lewostronny : obliczona wartość statystyki testowej jest mniejsza niż odpowiadająca jej wartość krytyczna

Test prawostronny : obliczona wartość statystyki testowej jest większa niż odpowiadająca jej wartość krytyczna

gdzie są górnymi kwantylami rozkładu t-Studenta z stopniami swobody.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładu t-Studenta z stopniami swobody będzie większa lub równa od obliczonej wartości statystyki testowej określonej dla hipotezy zerowej.

Wymagania dotyczące danych:

Test Pearsona może być wykonany na dwóch próbkach danych równej wielkości reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Ten przykład testuje poziom good dłużników w zbiorze danych german_credit. Należy pamiętać, zmienna kategoryczna 'Class' musi być przekształcona w binarną zmienną numeryczną przed wykonaniem testu.

# prepare data sample for testing: add a binary
# numerical variable 'Class_num' based on the
# categorical variable "Class". 
trans 'german_credit_1' <- 'german_credit':
    if Class == 'good':
        Class_num = 1
    else:
        Class_num = 0

# prepare ProportionTestSettings and the test object
settings = ProportionTestSettings()
settings.setAlpha(0.05)
settings.setExpectedProportion(0.75)
settings.setDistinctValue(1)
settings.setSide(StatisticalTestsSettings.RIGHT_SIDED)

test = ProportionTest(settings)

# execute the test and print the results
res = runStatTest(test, 'german_credit_1', 'Class_num')
res.printResults()        
    

        StatTestResult: 

        1) Critical value:         1.6448536269514715        
        2) Statistic:        -3.6514837167011107
        3) p-value:        0.9998696351720902
        4) Hypothesis:        null hypotesis is rejected
    

Test znaków jest specjalnie zaprojektowany do testowania hipotez dotyczących mediany ciągłej populacji

Test znaków używa następującej statystyki:

Należy pamiętać, że wartość tej statystyki zależy tylko od znaku (dodatni lub ujemny) różnicy pomiędzy wartościami próbek i testowanej wartości mediany. Oznacza to, że po prostu zlicza liczbę dodatnich (lub ujemnych) znaków spośród powyższych różnic. Jeśli jest za duże, hipoteza zerowa będzie odrzucona na korzyść hipotezy alternatywnej. Odkąd obserwacje są niezależne o właściwościach rozkładu dwumianowego to statystyka ma rozkład dwumianowy z parametrami {liczba elementów w próbie} i p = 0.5. Dla próbek z więcej niż 10 elementami można stosować przybliżenie rozkładem normalnym. Więcej przykładów patrz w przykładzie Conover 1980, Hollander and Wolfe 1973.

Hipotezy:

Statystyka testowa:

Dla próby , statystyka testowa dla testu znaków jest obliczana zgodnie z następującą regułą:

jest obliczana dla dwustronnego testu jako

gdzie

(tutaj oznacza liczność zbioru )

Dla lewostronnego testu

i prawostronnego testu , gdzie jest testowaną wartością mediany.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucona jeśli:

Test dwustronny : bezwzględna wartość obliczonej statystyki testowej jest większa niż odpowiadająca jej wartość krytyczna:

Test lewostronny : wartość obliczonej statystyki testowej jest mniejsza niż odpowiadająca jej wartość krytyczna:

Test prawostronny : wartość obliczonej statystyki testowej jest większa niż odpowiadająca jej wartość krytyczna:

Tutaj oznacza górną percentyl standardowego rozkładu normalnego.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa ze standardowego rozkładu normalnego będzie większa lub równa od obserwowanej wartości statystyki testowej dla testu znaków określonego w hipotezie zerowej.

Wymagania dotyczące danych:

Test znaków może być wykonany na dwóch próbkach danych numerycznych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Korelacja rang Spearmana jest nieparametryczną miarą zależności między dwoma parami próbek i jest oparta na rangach par danych. Test Spearmana jest używany do sprawdzenia znaczenia współczynnika korelacji rang.

Dla par obserwacji współczynnik korelacji rang Spearmana jest obliczany jako

gdzie

i

Tutaj i są rangami dla par obserwacji. Jeżeli nie istnieją powiązania powyższy wzór jest zredukowany do

gdzie jest różnicą pomiędzy parami rang.

Hipotezy:

Statystyka testowa: Statystyka testowa dla testu Spearmana jest zdefiniowana jako

Statystyka ma rozkład t-Studenta z stopniami swobody.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucona jeśli:

Test dwustronny : bezwzględna wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej; krytyczna wartość jest równa percentyl z rozkładu t-Studenta z stopniami swobody;

Test lewostronny : wartość statystyki testowej jest mniejsza od ujemnej wartości krytycznej;

Test prawostronny : wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej.

Wartość krytyczna dla testu jednostronnego jest równa percentyl z rozkładu t-Studenta z stopniami swobody.

P-Value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z rozkładu t-Studenta z stopniami swobody będzie większa lub równa od policzonej wartości statystyki testowej.

Wymagania dotyczące danych:

Test korelacji rang Spearmana może być wykonany na dwóch próbkach danych numerycznych równej wielkości reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.

Test t-Studenta dla prób niezależnych jest stosowany do określenia, czy dwie pobrane próbki pochodzą z populacji z różną średnią lub czy średnia populacji różni się od wcześniej zdefiniowanej wartości. Test t-Studenta, często znany jako test t, jest jednym z najczęściej stosowanych testów statystycznych. Występuje w dwóch wersjach: t-test dla próbek niezależnych i t-test dla prób zależnych. Oba typy są stosowane do sprawdzenia hipotezy, że średnie wartości są różne dla dwóch populacji, ale test dla prób zależnych jest szczególnie przydatny, gdy każdej obserwacji w próbce odpowiada dopasowana obserwacja w drugiej próbce. Niesparowany test t-jest bardziej ogólną techniką, która może być stosowane do sprawdzenia, czy średnia wartość różni się dla dwóch populacji i nie wymaga, aby obie próbki były połączone w dowolny sposób, a nawet aby miały takie same rozmiary.

Dla dwóch niezależnych próbek, jeśli obie są wystarczająco duże, wersja testu t-Studenta ma wiele atrakcyjnych funkcji. Mianownik statystyki testowej prawidłowo ocenia odchylenie standardowe, podczas gdy Centralne Twierdzenie Graniczne gwarantuje ważność testu, nawet jeżeli populacje nie są normalne. "Wystarczająco duży" rozmiar próbki może być 30 jeżeli obie populacje o rozkładzie prawie normalnym. Im bardziej populacje odbiegają od normalności tym większy rozmiar próbki jest potrzebny aby Centralne Twierdzenie Graniczne wsparło wynik testu. Należy pamiętać, że 100 obserwacji jest często zupełnie wystarczającą wielkością próbki. Dla małych i umiarkowanych rozmiarów próbek, wersja testu z równą wariancją zapewnia dokładny test równości dwóch średnich populacji. W tym przypadku wymaga się, aby próbki pobierane były populacji z rozkładu normalnego o równych wariancjach.

Hipotezy:

Test dla jednej próbki :

Test dla dwóch próbek niezależnych (niesparowanych) :

Test dla dwóch próbek zależnych (sparowanych) :

Statystyka testowa:

Dla próbki statystyka testowa dla testu t-Studenta jest liczona jako:

gdzie jest średnią próby i jest odchyleniem standardowym próby, jest rozmiarem próby.

Dla dwóch prób zależnych (sparowanych) statystyka testowa jest obliczana jako:

gdzie jest średnią wartością różnic i jest odchyleniem standardowym różnic, jest rozmiarem próby.

Dla dwóch prób niezależnych w ramach założenia o nierównej wariancji statystyka testowa jest obliczana jako:

gdzie i są średnimi wartościami próbek , i są odchyleniami standardowymi próbek, i

są rozmiarami prób.

Dla dwóch prób niezależnych under w ramach założenia o równej wariancji statystyka testowa jest obliczana jako:

gdzie i są średnimi wartościami próbek , i są odchyleniami standardowymi próbek, i są rozmiarami prób.

Poziom istotności:

Obszar krytyczny:

Hipoteza zerowa jest odrzucona jeśli:

Test dwustronny : bezwzględna wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej, krytyczna wartość jest równa: percentyl rozkładu t-Studenta z stopniami swobody;

Test lewostronny : wartość statystyki testowej jest mniejsza od ujemnej (negatywnej) wartości krytycznej;

Test prawostronny : wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej.

Wartość krytyczna dla jednostronnego testu jest równa percentyl rozkładu t-Studenta z stopniami swobody.

P-value:

Wartość p-value jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa z t-Studenta z stopniami swobody będzie większa lub równa od policzonej bezwzględnej wartości statystyki testowej określonej w hipotezie zerowej.

Wymagania dotyczące danych:

Test t-Studenta może być wykonany dla jednej lub dwóch próbkach danych numerycznych reprezentowanych w sposób standardowy lub za pomocą kolumny ze słowem kluczowym.